Wilson Ramos Cálculo Vectorial 2015-B: Diciembre

Máximos y mínimos

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si ftiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.
La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0.

Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables
Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo,f_xy es igual a f_yx. Sea

H = f_xx(a, b)f_yy(a, b) -[f_xy(a, b)]².

Entonces

a, b

_xx

a, b

_xx

a, b

Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

Ejemplos1. Sea f(x, y) = x² - (y-1) ². Entonces f_x(x,y) = 2x; f_y(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema

La primera ecuación produce x = 0, y la segunda da y = 1. Entonces, el único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de f es el plano cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:

_xx

_yy

_xy

_yx

Después calcule

H	=	f_xx(0, 1)f_yy(0, 1) -[f_xy(0, 1)]²
	=	(2)(-2) -0² =- 4

Como H es negativo, tenemos un punto de silla a (0, 1). Aquí está la gráfica de f que muestra su ubicación.

Máximos y mínimos restringidosUn problema restringido de optimización Tiene la forma

Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.

Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.Multiplicadores de Lagrange
Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ:

f_x = λg_x

f_y = λg_y

...

g = 0

El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g = 0.

Fuente:http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html

Multiplicador de Lagrange

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rⁿ}. Se definen s restricciones g_k (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

h(\mathbf x, \mathbf \lambda) = f - \sum_{k=1}^s \lambda_k g_k

Se procede a buscar un extremo para h

\frac{\partial h}{\partial x_i} = 0,

lo que es equivalente a

\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_k^s \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial x_i}.

Ejemplo

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces

f(p_1,p_2,\ldots,p_n) = -\sum_{k=1}^n p_k\log_2 p_k.

g(p_1,p_2,\ldots,p_n)=\sum_{k=1}^n p_k=1.

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos

\frac{\partial}{\partial p_k}(f+\lambda (g-1))=0,

lo que nos da

\frac{\partial}{\partial p_k}\left(-\sum_{k=1}^n p_k \log_2 p_k + \lambda\sum_{k=1}^n p_k - \lambda\right) = 0.

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

-\left(\frac{1}{\ln 2}+\log_2 p_k \right) + \lambda = 0.

Esto muestra que todo p_i es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑_k p_k = 1, encontramos

p_k = \frac{1}{n}.

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.

Fuente:https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange

NTEGRALES MULTIPLES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

Igual que en las funciones de una sola variable, las sumas tiende a este límite independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que determinan R, siempre que las normas de las subdivisiones tiendan ambas a cero. El límite (2) también es independiente del orden en que se numeren las áreas "Ak e independiente de la selección del punto (xk, yk) dentro de cada "Ak. Los valores de las sumas aproximadas individuales Sn depende de esas selecciones, pero al final las sumas tienden al mismo límite. La prueba de la existencia y unicidad de este límite para una función continua f se da en textos más avanzados.

La continuidad de f es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición necesaria. El límite en consideración también existe para muchas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.

Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan.

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn =

"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

TEOREMA DE FUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.

Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

en el plano xy. Entonces el volumen es

Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral

Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es

Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.

¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?

¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

Por tanto el volumen de todo el sólido es

EJEMPLO. Calcule

Solución. Por el teorema de Fubini,

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NO RECTANGULARES.

Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área "A = "x"y que se encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden, escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada "Ak y formamos la suma

La única diferencia entre esta suma y la de la ecuación (1) para regiones rectangulares es que ahora las áreas "Ak pueden dejar de cubrir toda R. Pero conforme la red se vuelve más fina y el número de términos en Sn aumenta, más de R queda incluida. Si f es continua y la frontera de R está hecha de las gráficas de un número finito de funciones continuas de xy/o de y, unidas extremo con extremo, entonces las sumas Sn tendrán un límite cuando las normas de las subdivisiones que definen la malla rectangular tiendan independientemente a cero. Llamamos al límite integral doble de f sobre R.

Este límite también puede existir en circunstancias menos restrictivas.

Las integrales dobles de funciones continuas sobre regiones no rectangulares tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales sobre regiones rectangulares. La propiedad de aditividad de dominio correspondiente a la propiedad 5 dice que si R se descompone en regiones no traslapadas R1 y R2 con fronteras que están nuevamente hechas de un número finito de segmentos de rectas o curvas, entonces

Si R es una región limitada “arriba” y “abajo” por las curvas y=g2(x) y y=g1(x) y lateralmente por las rectas x=a, x=b, nuevamente podemos calcular el volumen por el método de rebanadas. Primero determinamos el área de la sección transversal

Y luego integramos A(x) de x=a a x=b para obtener el volumen como una integral iterada:

(8)

De manera similar, si R es una región, limitada por las curvas x=h2 (y) y x=h1 (y) y las rectas y=c y y=d, entonces el volumen calculado por el método de rebanadas está dado por la integral iterada

EJEMPLO. Encuentre el volumen del prisma cuya base es el triángulo en el plano xy limitado por el eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya parte superior se encuentra en el plano

z=f(x, y)=3-x-y.

Solución. Para cualquier x entre 0 y 1, y puede variar de y=0 a y=x. Por consiguiente.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.

Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES.

Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen "x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces

Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces

EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integral triple de una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 0).

Solución.

Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1. La superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la recta z=1-x.

La frontera inferior es la recta z=0.

Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa por un punto típico (x, y) en R paralela al eje y entra a D en y=x+z y sale en y=1.

Paso 3: Los límites z de integración. La recta L que pasa por (x, y) paralela al eje z entra a R en z=0 y sale en z=1-x.

Paso 4: Los límites x de integración. Conforme L barre a través de R, es el valor de x varía de x=0 a x=1. La integral es

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.

COORDENADAS CILINDRICAS.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una función F(r, , z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0, lateralmente por el cilindro circular

y arriba por el paraboloide

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el círculo

Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, ) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale en

Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integral es

COORDENADAS ESFERICAS.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante: