Octubre

Vectores y Geometría Analítica en el Espacio

Funciones Implícitas
En F(x, y) = 0
Existen una o mas funciones:
y=f(x) ; y=f2(x)
x=g(y) ; x=g2(y)
Geometricamente estas funciones, representan una curva en el plano .

Ejemplo:
x^2+y^2=9

Sistemas de Funciones Implícitas

Siendo: F(x,y) = 0 Representa la intersección de las curvas generando uno o más puntos.
             G(x,y) = 0

Ejemplos:


            


Funciones Implícitas en el Espacio
En el espacio R3 Las funciones implícitas representan una superficie en el espacio
F(x,y,z)=0 .
Por ejemplo:

x^2+y^2+z^2 = r^2 Ecuación de una superficie esférica de centro (0,0,0) y radio = r.


                                                     

Sistemas de Funciones Implícitas en el Espacio
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
La intersección de las superficies que representa cada función implícita genera curvas en el espacio.

                                            

Fecha: 28/09/2015
Referencia: http://www.vitutor.net/2/17/geometria_espacio.html

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Ecuaciones de la Recta en el Espacio
Una recta en el espacio queda determinada por un punto de ella A ( x1, y1, z1) y un vector director u→ = ( a, b, c)

                                                     
Ecuaciones de la recta

   


Fecha: 01/10/2015
Referencia: http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.htm

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Ecuaciones del Plano en el Espacio
Ecuaciones del plano

Podemos definir un plano como una prolongación de una recta en el espacio.


                                              
Ecuación normal: punto y vector normal

Ecuación segmentaría del plano

Fecha: 05/10/2015
Referencia: http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-un-plano.htm
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Producto Mixto
El producto mixto de los vectores , y es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.
El producto mixto se representa por [, , ].



El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Haz de Planos
Es lo mismo que decir: conjunto de planos que pasan por una recta.
Podemos representar del modo siguiente:


                                       

Si dos planos se cortan en una recta su rango es 2, cualquier otro plano que pase por dicha recta y para que su rango continúe valiendo 2, este plano tendrá que ser una combinación lineal de los otros dos.
Si tienes los planos:

ves que su rango tanto el de coeficientes como el de la ampliada es 2, es decir, se cortan.
Un tercer plano que lo incluimos con los dos anteriores, para que sus rangos (coeficientes y ampliada) sigan valiendo 2 podría ser el que resulta de la suma de los dos primeros:


En este momento tenemos los planos:

cuyos rangos son iguales: rang(M) = 2; rang(M’) = 2 lo que significa que se cortan en una recta.
¿Cuántos planos podemos escribir de modo que todos se corten en dicha recta?
Infinitos. ¿Cuáles son?
Si al primer plano le multiplicamos por un número cualquiera, por ejemplo, 2 obtenemos otro plano que depende del primero: y que se corta en la misma recta ya que sus rangos (coeficientes y ampliada) sigue siendo 2.

Dado que podemos multiplicar por cualquier número tanto al primero como segundo plano, obtenemos conjuntos de planos cuya recta es común.
La ecuación del haz de planos secantes podemos escribir de modo general:


Los parámetros k y t son dos números reales

Distancia de un Punto a un Plano
La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano.
Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

                    


                                            
Fecha: 08/10/2015
Referencia: http://matematica.laguia2000.com/general/haz-de-planos
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Ecuación Vectorial de la Esfera

La esfera puede definirse como el conjunto de puntos del espacio que equidista de un punto dado (que denominamos centro de la esfera). A la distancia r que separa a los puntos de la esfera del centro se le llama radio de la esfera.

Cuando el centro es el origen de coordenadas la ecuación que deben satisfacer los puntos X(x,y,z) para pertenecer a la esfera es: x^2 + y^2 + z^2 = r^2 . Se le llama ecuación reducida.

Si el centro fuese el punto C(a,b,c) la ecuación sería: (x-a)^2 + (y-b)^2 +(z-c)^2 = r^2

También podemos considerar las ecuaciones paramétricas de la esfera, pero las anteriores son bastante sencillas y las consideramos suficientes para este estudio.

                                           

Cilindros

Un cilindro es una superficie compuesta que:

1.Son paralelas a una recta dada en el espacio.

2.Pasan por una curva plana dada; la curva es una curva generatriz para el cilindro.

En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son círculos, pero ahora consideraremos curvas generatrices de cualquier clase

Fecha: 12/10/2015
Referencia: http://www.academia.edu/6133586/Cilindros_y_Superficies_Cuadricas
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Cuadricas

Su ecuación general parte de:
Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de algunas de sus características se las puede diferenciar en las siguientes categorías.

Fecha: 15/10/2015
Referencia: http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cuadricas/marco_cuadricas.htm
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Funciones Vectoriales
Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

                                         

donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

                                                  
Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

Operaciones con Funciones Vectoriales
Límite de Una Función Vectorial
Dada una función vectorial
                                              
                                 
Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector:
se acerca más y más al vector ℓ .
Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

CONTINUIDAD

Sea :

Se dice que es continua en a sí y sólo si:

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes
f ,g y h son continuas en t = a.

Fecha: 22/10/2015
Referencia: http://es.slideshare.net/daemon1309/funciones-vectoriales-26902786
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Derivación e Integración de Funciones Vectoriales
Sea la función vectorial entonces diremos quees la derivada de dicha función y se define mediante:

                                 
Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite.
Cuando el límite existe para t = a se dice que es derivable en t = a.
Teorema, Sea una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas  derivables para algún valor de t, entonces es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:
                                      
Propiedades
Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:


               
        

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular.
Al vector se le llama vector de posición de la curva y a los vectores y se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración.
De modo que la rapidez en un instante t es | | , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. 

Al vector también se le llama vector tangente a la curva en t, y el vector:

                        
Integración de Funciones Vectoriales

La función vectorial , es una antiderivada de la función vectorial siempre y cuando:

INTEGRAL INDEFINIDA

Si es cualquier antiderivada de , la integral indefinida de esta se define como

Donde c es un vector constante arbitrario.

INTEGRAL DEFINIDA
Para la función vectorial , se define la integral definida de la misma :



TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow)

Supongamos que es una antiderivada de en el intervalo [a,b] diremos:

 

Fecha: 26/10/2015
Referencia: http://mitecnologico.com/sistemas/Main/DerivacionDeFuncionesVectorialesYSusPropiedades
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Longitud de Arco
Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces
C tiene una longitud L y:

                             
Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:
                     
La longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula:

                    
Vector Tangente, Normal y Binormal
VECTOR TANGENTE
Como ya lo vimos anteriormente, al vector también se le llama vector tangente a la curva en t,

y el vector:

VECTOR NORMAL



VECTOR BINORMAL


Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.

Curvatura
Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada  por la longitud de arco, que llamamos.
En este caso el vector tangente siempre es unitario.
Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante intuitiva,  pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular  como

  

Fecha: 29/10/2015
Referencia: http://www.inetor.com/definidas/integral_longitud.html
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