Noviembre


Clase de Curvatura



                                                           Curvatura de Flexión(k)

La curvatura de flexión o simplemente curvatura se define como:

                                                  
Se llama radio de curvatura de flexión al inverso de la curvatura de flexión
La curvatura de flexión es la razón de cambio de dirección del vector T de un punto a otro.

También se la puede definir como:  

                                                            


                                                         Curvatura de Torsión (T)

Cuando una curva no es plana se dice que es gausa, alabeada o de doble curvatura, porque tiene
curvatura de flexión (la definida anteriormente, o sea la variación de la tg a la curva) y curvatura de
torsión.
La curvatura de torsión de una curva en un punto es la razón de cambio del vector binormal respecto
del vector tg.
Cuando una curva posee curvatura de torsión (además de la de flexión ) no nula es alabeada. En una
curva plana la torsión es nula ya que el vector binormal es continuamente perpendicular al plano que
contiene a la curva (plano osculador único para todos los puntos de la curva).Y en una curva
alabeada, al ir cambiando el plano osculador (que contiene al círculo osculador), va cambiando,
punto a punto, también la recta binormal.

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                                     Funciones Escalares de varias variables
Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable multiple) es una aplicación que representamos por f:A⊆Rn⟶R(x1,x2,...,xn)⟶z=f(x1,x2,...,xn), donde el conjunto A⊆Rn se llama dominio de f, se representa por A=Dom(f)=Domf.
El dominio de f, es el conjunto de los elementos de Rn que tienen imagen mediante f, es decir:  A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}
Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f).
Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rnverificandoz=f(x1,x2,...,xn)}
Descriptores: 
 Funciones de varias variables
 Funciones
Ejemplo: 
La función f:A⊆R2⟶R definida por f(x,y)=+x2y−−−√. Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.
Dominio de la función.
∃f(x,y)⇔x2y≥0⇔y≥0⇒Dom(f)={(x,y)∈R2/y≥0}
Imagen de la función.
x2y≥0⇒+x2y−−−√≥0⇒Im(f)=[0,+∞[⊂R

Fuentes: http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables
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CURVAS DE NIVEL
Las curvas de nivel de una función f(x,y) serán las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)= k, donde k es una constante en el rango. Las curvas de nivel sirven para realizar la topología de una 1 región .



i)La función de la temperatura, las curvas de nivel se denominan ISOTERMAS.
ii)La función de la potenciación, las curvas de nivel se denominan EQUIPOS TENCIALES.
iii)La función de la Presión las curvas de nivel se denominan ISOBARAS.

Si las curvas de nivel se representan en 3D, entonces se denominan curvas de contorno

                                     Limites y Continuidad

La definición de límite es análoga a la del caso real y la generaliza. Dada una función vectorial, $f\colon I\to \mathbb{R}^m$, $a\in I\subset \mathbb{R}$ un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de $a$ como queramos), y $v\in\mathbb{R}^m$, decimos que $v$ es el límite de $f$ cuando $t$ tiende a $a$, ${\displaystyle \lim_{t\to a}f(t)=v }$, si ocurre que 
\begin{displaymath}\forall \epsilon >0, \exists \delta >0\mbox{ tal que } \mid \mid f(t)-v \mid \mid <\epsilon\mbox{ si }0< \mid t-a \mid <\delta\end{displaymath}

Como la norma en el caso $\mathbb{R}^m=\mathbb{R}$ coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. 

Continuidad
La continuidad se define como en el caso de una variable. Si $a$ es del dominio de $f$, $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$, $f$ se dice que es continua en $x=a$ si ocurre que existe ${\displaystyle \lim_{t\to a}f(t) }$ y coincide con $f(a)$, 
\begin{displaymath}\lim_{t\to a}f(t)=f(a)\end{displaymath}

Como nos podemos reducir a las funciones componentes, resulta que $f$ es continua en $a$ si y solo si cada función componente $f_i$ es continua en $a$. 
\begin{displaymath}f(a)=(f_1(a),f_2(a),\cdots ,f_m(a))\in \mathbb{R}^m\end{displaymath}


\begin{displaymath}\lim_{t\to a}f(t)=f(a)\iff \lim_{t\to a}f_i(t)=f_i(a) ,\quad i=1,2,\cdots , m\end{displaymath}

Técnicas para el Calculo de Limites

Como hemos observado si sabemos calcular límites de campos escalares podemos calcular todos los tipos de límites que pueden aparecer al trabajar con funciones de varias variables. Veamos algunas técnicas que podemos usar. Todas ellas estan basadas de una u otra forma en las que conocemos para funciones de una variable. La principal diferencia está en el hecho de que con varias variables tenemos muchas formas de acercarnos a un punto, mientras que con una bastaba saber lo que pasaba a derecha e izquierda.
Para ilustrar como podemos utilizar técnicas de una variable recordemos que una función $f$ tiene límite $l$ cuando $x$ tiende a $a$ si y solo si para cualquier sucesión $x_n$ (de puntos del dominio de $f$) que tiende a $a$ se verifica que la sucesión de sus imágenes, $f(x_n)$, tiende a $l$ 
\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=l\iff \forall x_n \to a \Rightarrow f(x_n)\to l\end{displaymath}

Esto nos permite decir por ejemplo que la función seno no tiene límite en infinito, esto es, no existe ${\displaystyle \lim_{x\to \infty} \mbox{ sen }x }$, ya que podemos encontrar sucesiones $x_n$, $y_n$ que tienden a $\infty$ y tales que sus imágenes tienen límites distintos. Por ejemplo 
\begin{displaymath}x_0=0, x_1=2\pi , x_2=4\pi , x_3=6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}


\begin{displaymath}y_0=\frac{\pi}{2}, y_1=\frac{\pi}{2}+2\pi , y_2=\frac{\pi}{2}+4\pi , y_3=\frac{\pi}{2}+6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}


\begin{displaymath}\mbox{ sen }(x_n)=0\Rightarrow \mbox{ sen }(x_n)\to 0 , \quad \mbox{ sen }(y_n)=1\Rightarrow sen (y_n)\to 1\end{displaymath}

Pues bien el mismo resultado sigue siendo cierto para campos escalares solo que ahora la sucesión es de vectores de $\mathbb{R}^n$. Si nos fijamos en el campo escalar 
\begin{displaymath}f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}

nos podríamos preguntar por el límite de $f$ en el punto $(1,2)$ 
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}

Si consideramos sucesiones genéricas de vectores $(x_n,y_n)\to (1,2)$ esto es equivalente a considerar sucesiones $x_n\to 1$, $y_n\to 2$ Entonces aplicando propiedades de límites de sucesiones 
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\frac{1\cdot 2^2}{1^2+2^2}=\frac{4}{5}\end{displaymath}

Es claro que la misma idea sirve para cualquier punto $(a,b)$, que no sea conflictivo ya que la simple sustitución nos da el valor del límite (es decir la función es continua en esos puntos) 
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (a,b)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\frac{ab^2}{a^2+b^2}\end{displaymath}

Pero ¿qué pasa en el punto conflictivo? En este caso el punto conflictivo es $(0,0)$. No podemos sustituir simplemente porque la función no está definida en ese punto.
Si tratamos de hacer igual que antes nos encontramos con una indeterminacion del tipo $(0/0)$. Sean sucesiones genéricas $x_n\to 0$, $y_n\to 0$ 
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\mbox{?}\end{displaymath}

Si podemos resolver la indeterminación encontraríamos el límite. Si por el contrario podemos encontrar dos sucesiones de vectores $(x_n,y_n)$, $(z_n, t_n)$ tendiendo a $(0,0)$ y tales que las imágenes por $f$ de alguna de ellas no tenga límite, o bien que $f(x_n,y_n)$ y $f(z_n, t_n)$ tengan límites distintos, entonces no existiría el limite en $(x,y)=(0,0)$ de $f$. ¿Qué pasa en este caso?


Fuente: http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node15.html
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Continuidad 



Una función de dos variables es continua en un punto de una región abierta si es igual al límite de cuándo . Es decir,

La función es continua en la región abierta si es continua en todo punto de .

Discontinuidad Evitable

Una discontinuidad evitable en un punto x=a es aquella en que los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no, es decir:
limx→a−f(x)=limx→a+=Lf(a)≠L
Es razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya que la función en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el punto en concreto no existe, así que sólo añadiendo ese punto, lograríamos que la función fuera continua (se podría evitar la discontinuidad muy fácilmente).

Discontinuidad Inevitable

Una función f(x) tiene una discontinuidad inevitable en el punto x=a si los límites laterales de la función en este punto no coinciden (y son finitos), es decir:
limx→a−f(x)≠limx→a+f(x)f(a)=L
independientemente del valor de la función en x=a (del valor de f(a)).
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                                                        Derivadas Parciales

 Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)
  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
  Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:     :
  Para ello recordemos que la derivada de la función  z = eu  es:   z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la yconstante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

  Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

  Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables  w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:



en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.

 Diferencial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".
Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función:    , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

  Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y porb. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.
  Para la función  las derivadas en el punto P(1, 2) son:

y la diferencial en ese punto:

Derivadas parciales de segundo orden.
  Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer  "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)
  Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:


Fuente: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm
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                                                            Regla de la cadena

Con la regla de la cadena se pretende calcular derivadas parciales de una función compuesta, sin realizar la composición de funciones previamente.

Caso de una variable independiente:

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de un parámetro t y ambas tienen derivadas respecto de t. Entonces z=F(x(t),y(t)) es una función compuesta. Un cambio en t afectará a las variables x e y, por lo tanto se producirá un cambio en z. Es razonable preguntarse por la razón de cambio de z respecto a t. Esta derivada puede obtenerse:

dz dt = ∂ z ∂ x  .  dx dt + ∂ z ∂ y  .  dy dt

Caso de dos variables independientes

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de dos parámetros, s y t, existiendo también sus derivadas parciales respecto a estas variables. Entonces z=F(x(t,s),y(t,s)) es derivable parcialmente y se cumple:

∂z ∂s = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂s + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂s ∂z ∂t = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂t + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂t

Ejemplo 1.- Si T( x,y )= x 2 y+3x y 4 representa la temperatura en un punto del plano de coordenadas (x,y) y conocemos las ecuaciones paramétricas de una curva C del plano, C≡{  x= e t   ;    y=sen  t  } . Calcular la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva C.

Solución: Se trata de hallar la derivada de la función temperatura, T(x,y), respecto del tiempo, t. Como T depende de las variables x e y, siendo estas a su vez función de t, resulta

dT dt = ∂T ∂x ⋅ dx dt + ∂T ∂y ⋅ dy dt dT dt =( 2xy+3 y 4 )⋅ e t +( x2 +12x y 3 )⋅cos⁡ t dT dt =( 2  e t  sen t+3 se n 4  t )⋅ e t +( e 2t+12  e t  se n 3  t )⋅cos⁡ t 

La expresión anterior nos proporciona la razón de cambio de T respecto a t en cualquier instante. En particular, para el instante t = 0 s, tendremos

dT dt | t=0 =( 2  e 0  sen 0+3 se n 4  0 )⋅ e 0 +( e 0 +12  e 0  se n 3 0 )⋅cos⁡ 0=1   ºC/s

Fuente: http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/derivadas/nivel3/teoria/derivadas12.htm
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                                                     Derivada Parcial Implicita

La derivada de la función implícitadefinida mediante la ecuación  puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:
, siempre que 
Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.
Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:
; , siempre que 
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno decon
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.

En la matemática la derivada parcial implícita corresponde a una función que tiene diversas variables, en este caso es una derivada con respecto a una de las variables manteniendo todas las otras como constantes.  Las derivadas parciales implícitas con usadas en los cálculos de vectoriales y geometría diferencial.  La derivada parcial de una cualquier función f respecto a la variables x puede ser representada como:
Al completar la derivada se obtiene la una expresión que nos permite encontrar la pendiente de una recta tangente de una función en un punto dado.  
Fuente:https://sites.google.com/site/frabicaciondelatasdecervezam2/3-contenidos/derivacion-parcial-implicita
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                Derivada Direccional y Vector Gradiente
 Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

Fuente:http://www.cartagena99.com/recursos/matematicas/apuntes/derivadas_parcialesyDireccionales.pdf

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